Formula does not parse

Αφορά όσους χρησιμοποιούν LaTeX σ’ αυτό το blog.

Στις όχι και τόσο σπάνιες περιπτώσεις όπου ο parser αρνείται επίμονα να συνεργαστεί με αποτέλεσμα διαδοχικά post γεμάτα με τον αφορισμό “formula does not parse” σε κίτρινο highlight, μπορείτε, αν έχετε δική σας ιστοσελίδα, να χρησιμοποιήσετε αυτό.

Παρακαλώ, για οτιδήποτε σχετικό με το πρόγραμμα που υπάρχει στο παραπάνω link, μην κάνετε post εδώ διότι είναι άσχετο με το αντικείμενο του blog. Στείλτε μου απευθείας email.

Η συνάρτηση δέλτα

Οι φυσικοί και οι μηχανικοί μιλάνε συχνά για τη “συνάρτηση δέλτα”. Υποτίθεται ότι είναι μια συνάρτηση με την ιδιότητα

για κάθε συνεχή. Υπάρχει αλήθεια τέτοια συνάρτηση; Αν απαντήσετε “ναι” πρέπει βέβαια να δώσετε έναν τύπο…

Σφαιρίδια

Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορείτε να βάλετε όμοια σφαιρίδια σε διακεκριμένα δοχεία χωρητικότητας το καθένα;

()

Κορώνα γράμματα

Παίζουμε το εξής παιχνίδι: στρίβουμε ένα νόμισμα μέχρι την πρώτη φορά που θα εμφανιστεί η ακολουθία κορώνα-γράμματα-κορώνα (οπότε κερδίζουμε) ή η ακολουθία γράμματα-γράμματα-γράμματα (οπότε χάνουμε).  Ποιά είναι η πιθανότητα να κερδίσουμε;

Όγκος και Εμβαδό χωρίς Πράξεις

Δείξτε ότι το εμβαδό της επιφάνειας της μοναδιαίας σφαίρας (στον 3-διάστατο χώρο) είναι ίσο με 3 φορές τον όγκο της μοναδιαίας μπάλας, χωρίς να υπολογίσετε αυτές τις ποσότητες.

Γραμμικός συνδυασμός με φυσικούς αριθμούς ως συντελεστές

Έστω δύο φυσικοί αριθμοί με μέγιστο κοινό διαιρέτη . Δείξτε ότι υπάρχει φυσικός αριθμός τ.ώ. κάθε γράφεται ως

με φυσικούς αριθμούς.

Ακολουθία τετραγώνων

Θεωρήστε την ακολουθία , με και για . Δείξτε ότι όλοι οι όροι της είναι τετράγωνα ακεραίων.

Απρόσμενη κωδικοποίηση

Δείξτε ότι το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων στο μπορεί να έρθει σε 1-1 και επί αντιστοιχία με το . Με άλλα λόγια, κάθε συνεχής συνάρτηση μπορεί να κωδικοποιηθεί από ένα πραγματικό αριθμό! Αυτό μάλιστα μπορεί να γίνει με κάποιο “αλγόριθμο”, ο οποίος, βέβαια, απέχει πολύ από το να είναι ρεαλιστικά υλοποιήσιμος.

Το αποτέλεσμα δεν ισχύει για αυθαίρετες συναρτήσεις.

Ταξινόμηση (2)

Παρακάτω μελετάμε μεθόδους (αλγορίθμους) ταξινόμησης, κατ’ αύξουσα σειρά, μιας λίστας αριθμών .

Παρακάτω ως μέθοδος (αύξουσας) ταξινόμησης θεωρείται μόνο όποια μέθοδος κάνει μόνο μια ακολουθία από τις ακόλουθες πράξεις: κοιτάει δύο στοιχεία της λίστας τα και , με και τα εναλλάσσει αν και μόνο αν .

Είναι φανερό ότι υπάρχουν τέτοιες μέθοδοι που δουλεύουν. Π.χ. για την ταξινόμηση μιας λίστας με n στοιχεία εφαρμόστε την παραπάνω πράξη στα ζεύγη

(1,2), (1,3), … ,(1,n), (2,3), (2,4), … ,(2,n) (3,4) … (n-1,n).

Αυτό είναι το λεγόμενο bubblesort, η πρώτη ουσιαστικά μέθοδος ταξινόμησης που μαθαίνει κανείς.

Δείξτε ότι μια μέθοδος ταξινόμησης αριθμητικών λιστών δουλεύει αν και μόνο αν δουλεύει όταν κάθε θέση της λίστας περιέχει 0 ή 1.

Συνέχεια συνάρτησης

Υπάρχει συνεχής συνάρτηση που να παίρνει κάθε τιμή άπειρες φορές;

Ταξινόμηση

Έστω ένας πίνακας πραγματικών αριθμών. Πρώτα ταξινομούμε κάθε γραμμή του πίνακα σε αύξουσα σειρά. Έπειτα ταξινομούμε κάθε στήλη του σε αύξουσα σειρά. Δείξτε ότι μετά το δεύτερο αυτό βήμα οι γραμμές εξακολουθούν να είναι ταξινομημένες σε αύξουσα σειρά.

Θαυμάσιες περίοδοι

Έχετε προσέξει ότι για οποιοδήποτε ακέραιο που δεν είναι πολλαπλάσιο του 7, η ακολουθία ψηφίων 142857 επαναλαμβάνεται περιοδικά στη δεκαδική αναπαράσταση του ; Ας συμφωνήσουμε να λέμε τέτοιες ακολουθίες ψηφίων  ”θαυμάσιες περιόδους”. Δηλαδή μια ακολουθία από ψηφία στο δεκαδικό σύστημα θα ονομάζεται θαυμάσια περίοδος μήκους αν υπάρχει ένας ακέραιος ώστε η ακολουθία αυτή να επαναλαμβάνεται περιοδικά στη δεκαδική αναπαράσταση του για όλα τα που δεν είναι πολλαπλάσια του . Βρείτε όλες τις θαυμάσιες περιόδους μήκους το πολύ 20.