Σ’ ένα καπέλο βρίσκονται Ν χαρτάκια. Κάθε χαρτάκι έχει πάνω του γραμμένο έναν (διαφορετικό) αριθμό. Ο σκοπός μας είναι να διαλέξουμε το χαρτάκι με το μεγαλύτερο αριθμό. Δεν μπορούμε όμως να τα δούμε όλα και μετά να διαλέξουμε. Κάθε φορά τραβάμε ένα χαρτάκι, βλέπουμε τον αριθμό που είναι γραμμένος πάνω του και αποφασίζουμε αν θα διαλέξουμε αυτό το χαρτάκι ή όχι. Αν το διαλέξουμε κερδίζουμε ή χάνουμε ανάλογα με το αν το χαρτάκι αυτό έχει ή όχι το μεγαλύτερο αριθμό από όλα τα χαρτάκια που ήταν αρχικά στο καπέλο. Αν το απορρίψουμε τραβάμε ένα καινούργιο χαρτάκι, αλλά δεν μπορούμε ποτέ να επιστρέψουμε σ’ αυτό που απορρίψαμε, κ.ο.κ. Αν εξαντλήσουμε όλα τα χαρτάκια αναγκαστικά “παίζουμε” με το τελευταίο χαρτάκι που έχει μείνει στο καπέλο.
Μπορούμε να διαλέξουμε το πρώτο χαρτάκι που θα τραβήξουμε, και τότε η πιθανότητα να κερδίσουμε είναι 1/Ν, που τείνει όμως στο 0 καθώς το Ν τείνει στο άπειρο. Για αρχή βρείτε μια στρατηγική που μας εξασφαλίζει ότι κερδίζουμε με πιθανότητα τουλάχιστον p, όπου p>0 και δεν εξαρτάται από το Ν.
Ένα υποσύνολο της ευθείας λέγεται “τέλειο” αν είναι κλειστό και δεν έχει μεμονωμένα σημεία. Δείξτε ότι ένα τέλειο σύνολο δεν μπορεί να είναι αριθμήσιμο. Χρησιμοποιήστε το αποτέλεσμα αυτό για να απαντήσετε στην “Αφύσικη διάσπαση“.
Αν το έχετε ξεχάσει, ένα 
λέγεται μεμονωμένο σημείο του 
αν υπάρχει 
τέτοιο ώστε
.
Ας πούμε ότι η 
είναι μια τυχούσα συνάρτηση. Είναι δυνατό το σύνολο των γνήσιων τοπικών ακρότατων της 
να είναι υπεραριθμήσιμο;
Για προθέρμανση δείξτε ότι τρεις μιγαδικοί αριθμοί με μέτρο 1 έχουν άθροισμα μηδέν αν και μόνο αν είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου, ενώ τέσσερις μιγαδικοί αριθμοί με μέτρο 1 έχουν άθροισμα μηδέν αν και μόνο αν είναι κορυφές ορθογωνίου ή της μορφής (ζ,ζ-ζ,-ζ). Βρείτε τώρα όλους τους δυνατούς τρόπους ώστε πέντε μιγαδικοί αριθμοί με μέτρο 1 να έχουν άθροισμα μηδέν.
Στην παραπάνω εικόνα βλέπετε ένα συνηθισμένο τύπο puzzle. Στο κενό τετραγωνάκι μπορεί κάθε φορά να μετακινηθεί ένα οποιοδήποτε από τα γειτονικά του τετράγωνα.
Δείξτε ότι είναι αδύνατο, ξεκινώντας από την κατάσταση που βλέπετε στην εικόνα, να φτάσετε μετά από κάποιες κινήσεις στην ίδια κατάσταση εκτός από τα τετράγωνα με αριθμούς 1 και 2 που θα είναι μεταξύ τους αλλαγμένα.
Σας δίνεται ένα κλειστό υποσύνολο του 
. Μπορείτε να βρείτε μια συνάρτηση η οποία να είναι ασυνεχής ακριβώς στα σημεία του δοσμένου συνόλου;
Θεωρήστε δύο σχετικά πρώτους φυσικούς αριθμούς 
. Δείξτε ότι
![\displaystyle \big[\frac{p}{q}\big]+\big[\frac{2p}{q}\big]+\cdots+\big[\frac{(q-1)p}{q}\big]=\frac{(p-1)(q-1)}{2}.](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Cbig%5B%5Cfrac%7Bp%7D%7Bq%7D%5Cbig%5D%2B%5Cbig%5B%5Cfrac%7B2p%7D%7Bq%7D%5Cbig%5D%2B%5Ccdots%2B%5Cbig%5B%5Cfrac%7B%28q-1%29p%7D%7Bq%7D%5Cbig%5D%3D%5Cfrac%7B%28p-1%29%28q-1%29%7D%7B2%7D.&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\displaystyle \big[\frac{p}{q}\big]+\big[\frac{2p}{q}\big]+\cdots+\big[\frac{(q-1)p}{q}\big]=\frac{(p-1)(q-1)}{2}.")
Θεωρήστε ένα κυρτό πολύεδρο στον 
φτιαγμένο από ένα υλικό με πυκνότητα 
. Δείξτε ότι υπάρχει τουλάχιστον μια έδρα πάνω στην οποία το πολύεδρο ισορροπεί (δηλαδή αν ακουμπήσουμε την έδρα αυτή σ’ ένα οριζόντιο επίπεδο τότε η προβολή του κέντρου βάρους του πολυέδρου σε αυτό το επίπεδο βρίσκεται μέσα στην έδρα αυτή.)
Από μια συνηθισμένη 8×8 σκακιέρα έχουμε αφαιρέσει την πάνω αριστερά και την κάτω δεξιά γωνία (απομένουν δηλ. 62 τετράγωνα). Μπορείτε να καλύψετε αυτή τη σκακιέρα με ντόμινα (ζεύγη δηλ. από τετράγωνα που έχουν μια κοινή πλευρά) που όμως δεν επιτρέπεται να αλληλοεπικαλύπτονται;
Μπορείτε να διασπάσετε μια ευθεία σε ξένα ανά δύο ευθύγραμμα τμήματα;
Σε μια χώρα ο κόσμος προτιμάει να κάνει αγόρια παρά κορίτσια. Πρόκειται για μια πειθαρχημένη χώρα κι έτσι όλοι ακολουθούν τον ακόλουθο κανόνα: κάνουν παιδιά μέχρι να κάνουν αγόρι, οπότε και σταματάνε. Πώς πιστεύετε ότι θα διαμορφωθεί η αναλογία αγοριών/κοριτσιών μακροπρόθεσμα;
Υποθέσεις: Σε κάθε γέννα γεννιέται ένα παιδί, με ίση πιθανότητα αγόρι ή κορίτσι, ανεξάρτητα από άλλες γέννες. Η οικογενειακή κατάσταση είναι στατική: υποθέστε ότι ο πληθυσμός αποτελείται από Ν ζευγάρια που ζουν επ΄ άπειρον. Τα παιδιά τους δε γεννάνε.
Αν 
είναι ένας πρώτος αριθμός, δείξτε ότι κάθε συνάρτηση
μπορεί να παρασταθεί από ένα πολυώνυμο 
.
Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο περιέχεται μέσα σ’ ένα άλλο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο. Τα δύο παραλληλεπίπεδα δεν είναι κατ’ ανάγκη παράλληλα μεταξύ τους.
Δείξτε ότι το άθροισμα των διαστάσεων του μέσα (μήκος + πλάτος + ύψος) είναι μικρότερο από το άθροισμα διαστάσεων του έξω.
Ο Α θέλει να στείλει στον Β ένα αντικείμενο το οποίο δε θέλει να δει κανείς άλλος.
Οι δύο είναι μακριά ο ένας από τον άλλο και μπορούν μόνο να επικοινωνούν ταχυδρομικώς. Ο ταχυδρόμος δεν είναι κάποιος που μπορούν να εμπιστευθούν όμως, άρα το αντικείμενο πρέπει κάπως να ταξιδέψει κλειδωμένο. Ο Α έχει ένα κουτί και βάζει μέσα το αντικείμενο, όμως δε μπορεί απλά να κλειδώσει το κουτί γιατί ο Β δεν έχει το κλειδί για να το ανοίξει. Αν στείλει το κλειδί χωριστά ο ταχδυρόμος μπορεί να το αντιγράψει, οπότε έχει ξανά το ίδιο πρόβλημα, όπου τώρα το αντικείμενο που θέλει να στείλει είναι το κλειδί.
Επίσης δε θέλει, για άλλους λόγους, να στείλει το κλειδί του σε κανένα άλλο (η αναλογία κλειδί=password μπορεί κάπως να εξηγήσει τον αφύσικο αυτό περιορισμό).
Πώς μπορεί ο Α να στείλει το αντικείμενο στον Β; Ο καθένας τους έχει τα λουκέτα του και τα κλειδιά του μόνο.
ορίζεται να είναι το
: Υποθέτουμε ότι το
-ψήφιους αριθμούς (στο δεκαδικό σύστημα) και τους προσθέτουμε. Έστω 
το πλήθος των κρατουμένων που μεταφέραμε κατά την πρόσθεση. Τι συμβαίνει στο 
καθώς 
είναι ένα πολυώνυμο, βαθμού 
σε κάθε μεταβλητή, και 
είναι ένα πεπερασμένο σύνολο.
ομοιόμορφα και ανεξάρτητα από το 
. Δείξτε ότι
.
. Ο 
είναι το άθροισμα των ψηφίων του 
το άθροισμα των ψηφίων του 
