Σχόλια στο Στρατηγική απελευθέρωσης http://kolount.wordpress.com/2008/03/12/%cf%83%cf%84%cf%81%ce%b1%cf%84%ce%b7%ce%b3%ce%b9%ce%ba%ce%ae-%ce%b1%cf%80%ce%b5%ce%bb%ce%b5%cf%85%ce%b8%ce%ad%cf%81%cf%89%cf%83%ce%b7%cf%82/ και λύσεις Thu, 17 Dec 2009 13:33:03 +0000 http://wordpress.com/ hourly 1 Από: Mihalis Kolountzakis http://kolount.wordpress.com/2008/03/12/%cf%83%cf%84%cf%81%ce%b1%cf%84%ce%b7%ce%b3%ce%b9%ce%ba%ce%ae-%ce%b1%cf%80%ce%b5%ce%bb%ce%b5%cf%85%ce%b8%ce%ad%cf%81%cf%89%cf%83%ce%b7%cf%82/#comment-1033 Mihalis Kolountzakis Wed, 24 Jun 2009 17:48:55 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=13#comment-1033 Όχι ακριβώς. Σκεφτείτε λίγο ως εξής: κάθε μετάθεση μπορεί να γραφεί ως γινόμενο κυκλικών μεταθέσεων, και μάλιστα με, ουσιαστικά, μοναδικό τρόπο. Τι πρέπει να συμβαίνει με τους κύκλους της μετάθεσης ώστε να τη γλυτώσουν οι κατάδικοι; Όχι ακριβώς. Σκεφτείτε λίγο ως εξής: κάθε μετάθεση μπορεί να γραφεί ως γινόμενο κυκλικών μεταθέσεων, και μάλιστα με, ουσιαστικά, μοναδικό τρόπο. Τι πρέπει να συμβαίνει με τους κύκλους της μετάθεσης ώστε να τη γλυτώσουν οι κατάδικοι;

]]> Από: mcdallas http://kolount.wordpress.com/2008/03/12/%cf%83%cf%84%cf%81%ce%b1%cf%84%ce%b7%ce%b3%ce%b9%ce%ba%ce%ae-%ce%b1%cf%80%ce%b5%ce%bb%ce%b5%cf%85%ce%b8%ce%ad%cf%81%cf%89%cf%83%ce%b7%cf%82/#comment-1032 mcdallas Wed, 24 Jun 2009 16:52:59 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=13#comment-1032 Με τον τροπο που περιγραφεις ο μοναδικος τροπος για να εκτελεστουν οι κρατουμενοι ειναι αν η παραπανω μεταθεση ειναι μια διατάραξη δηλαδη κανενα στοιχειο να μην παραμενει στην θεση του. Σε μια τυχαια μεταθεση n στοιχείων η πιθανότητα να ειναι διατάραξη καθως το n τείνει στο απειρο ειναι 1/e Με τον τροπο που περιγραφεις ο μοναδικος τροπος για να εκτελεστουν οι κρατουμενοι ειναι αν η παραπανω μεταθεση ειναι μια διατάραξη δηλαδη κανενα στοιχειο να μην παραμενει στην θεση του. Σε μια τυχαια μεταθεση n στοιχείων η πιθανότητα να ειναι διατάραξη καθως το n τείνει στο απειρο ειναι 1/e

]]> Από: Mihalis Kolountzakis http://kolount.wordpress.com/2008/03/12/%cf%83%cf%84%cf%81%ce%b1%cf%84%ce%b7%ce%b3%ce%b9%ce%ba%ce%ae-%ce%b1%cf%80%ce%b5%ce%bb%ce%b5%cf%85%ce%b8%ce%ad%cf%81%cf%89%cf%83%ce%b7%cf%82/#comment-347 Mihalis Kolountzakis Tue, 01 Jul 2008 05:56:19 +0000 http://kolount.wordpress.com/?p=13#comment-347 <b>Υπόδειξη:</b> Κατ'αρχήν οι κατάδικοι, πριν αρχίσουν να παίζουν το παιχνίδι, ρίχνουν τα ζάρια τους και δίνουν στα κουτιά μια τυχαία ονομασία: το κουτί Νο 1 θα λέγεται στο εξής $latex \pi_1$, το κουτί Νο 2 θα λέγεται $latex \pi_2$, κοκ. (Οι αριθμοί $latex \pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_{2n}$ είναι μια τυχαία μετάθεση των αριθμών $latex 1, 2, \ldots, 2n$.) Ο λόγος που το κάνουν αυτό είναι ώστε να μη μπορεί κανείς να καθορίσει τα περιεχόμενα που αντιστοιχούν στο $latex \nu$-οστό κουτί με τρόπο ώστε να αποτύχει η μέθοδός τους (η περιγραφή της οποίας ακολουθεί). <em>(Ένας άλλος τρόπος να σκεφτείτε αυτό το βήμα είναι ότι οι κατάδικοι συμφωνούν ώστε ο πρώτος που θα μπει να ανακατέψει τυχαία τα κουτιά πριν αρχίσει να κάνει οτιδήποτε άλλο, να τα επανατοποθετήσει δηλ. σε μια τυχαία σειρά.)</em> Κάθε ένας που πάει μέσα κάνει το εξής. Αν το όνομα του καταδίκου είναι $latex \nu$ (οι κατάδικοι έχουν τα ονόματα $latex 1,\ldots, 2n$) τότε πάει και ανοίγει το κουτί $latex \pi_{\nu}$. Αν βρεί μέσα το όνομά του έχει καλώς, σταματάει και βγαίνει έξω. Αλλιώς, αν το περιεχόμενο είναι ο αριθμός $latex k$ πάει και ανοίγει το κουτί $latex \pi_k$. Και πάλι αν βρεί μέσα το όνομά του έχει καλώς και σταματάει, αλλιώς συνεχίζει και πηγαίνει στο κουτί που του λέει το περιεχόμενο του $latex \pi_k$. Αυτό συνεχίζεται μέχρι να βρει το όνομά του ή μέχρι να ανοίξει $latex n$ κουτιά. Αν συμβεί το τελευταίο και δεν έχει βρει το όνομά του τότε το παιχνίδι τελειώνει εις βάρος των καταδίκων, αλλιώς μπαίνει ο επόμενος. Βρείτε τι πιθανότητα επιτυχίας έχουν αν παίζουν με αυτό τον τρόπο. Ένας τρόπος να το σκεφτείτε είναι να δείτε την όλη κατάσταση ως μια μετάθεση $latex \tau = \left( \begin{array}{llll} \pi_1 & \pi_2 & \ldots & \pi_{2n}\\ \alpha & \beta & \ldots & \omega \end{array} \right)$ όπου στην πάνω γραμμή είναι τα ονόματα των κουτιών και κάτω είναι τα περιεχόμενά τους. Η μετάθεση $latex \tau$ είναι μια τυχαία μετάθεση (εξίσου πιθανό να είναι κάθε μια από τις μεταθέσεις της $latex S_{2n}$). Υπόδειξη:

Κατ’αρχήν οι κατάδικοι, πριν αρχίσουν να παίζουν το παιχνίδι, ρίχνουν τα ζάρια τους και δίνουν στα κουτιά μια τυχαία ονομασία: το κουτί Νο 1 θα λέγεται στο εξής \pi_1, το κουτί Νο 2 θα λέγεται \pi_2, κοκ. (Οι αριθμοί \pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_{2n} είναι μια τυχαία μετάθεση των αριθμών 1, 2, \ldots, 2n.) Ο λόγος που το κάνουν αυτό είναι ώστε να μη μπορεί κανείς να καθορίσει τα περιεχόμενα που αντιστοιχούν στο \nu-οστό κουτί με τρόπο ώστε να αποτύχει η μέθοδός τους (η περιγραφή της οποίας ακολουθεί).

(Ένας άλλος τρόπος να σκεφτείτε αυτό το βήμα είναι ότι οι κατάδικοι συμφωνούν ώστε ο πρώτος που θα μπει να ανακατέψει τυχαία τα κουτιά πριν αρχίσει να κάνει οτιδήποτε άλλο, να τα επανατοποθετήσει δηλ. σε μια τυχαία σειρά.)

Κάθε ένας που πάει μέσα κάνει το εξής. Αν το όνομα του καταδίκου είναι \nu (οι κατάδικοι έχουν τα ονόματα 1,\ldots, 2n) τότε πάει και ανοίγει το κουτί \pi_{\nu}. Αν βρεί μέσα το όνομά του έχει καλώς, σταματάει και βγαίνει έξω. Αλλιώς, αν το περιεχόμενο είναι ο αριθμός k πάει και ανοίγει το κουτί \pi_k. Και πάλι αν βρεί μέσα το όνομά του έχει καλώς και σταματάει, αλλιώς συνεχίζει και πηγαίνει στο κουτί που του λέει το περιεχόμενο του \pi_k. Αυτό συνεχίζεται μέχρι να βρει το όνομά του ή μέχρι να ανοίξει n κουτιά. Αν συμβεί το τελευταίο και δεν έχει βρει το όνομά του τότε το παιχνίδι τελειώνει εις βάρος των καταδίκων, αλλιώς μπαίνει ο επόμενος.

Βρείτε τι πιθανότητα επιτυχίας έχουν αν παίζουν με αυτό τον τρόπο.

Ένας τρόπος να το σκεφτείτε είναι να δείτε την όλη κατάσταση ως μια μετάθεση

\tau = \left( \begin{array}{llll} \pi_1 & \pi_2 & \ldots & \pi_{2n}\\ \alpha & \beta & \ldots & \omega \end{array} \right)

όπου στην πάνω γραμμή είναι τα ονόματα των κουτιών και κάτω είναι τα περιεχόμενά τους. Η μετάθεση \tau είναι μια τυχαία μετάθεση (εξίσου πιθανό να είναι κάθε μια από τις μεταθέσεις της S_{2n}).

]]>