Προβλήματα Μαθηματικών

Μαρτίου 12, 2008

Μια στήλη από τούβλα

Κατηγορίες: Άλυτα Προβλήματα, Με υπόδειξη — Mihalis Kolountzakis @ 9:43 πμ

Σας δίνεται ένα άπειρο πλήθος από ίδια ορθογώνια τούβλα, διαστάσεων 30 \times 10 \times 10 cm.
Δείξτε ότι μπορείτε να φτιάξετε μία στήλη από αυτά η οποία

  1. να ισορροπεί,
  2. να έχει ένα τούβλο σε κάθε οριζόντιο επίπεδο και
  3. προβαλλόμενη κατακόρυφα κάτω να φτάνει 100 m μακριά.

Προσπαθείστε να δώσετε μια λύση χωρίς πράξεις, στηριζόμενοι σε “φυσικά” επιχειρήματα.

9 σχόλια »

  1. Υπόδειξη

    Υποθέστε ότι κάποιος σας δίνει μια στήλη από τούβλα η οποία ισορροπεί και όταν προβληθεί κάτω φτάνει σε απόσταση x.

    Δείξτε ότι μπορείτε, χρησιμοποιώντας αυτή τη στήλη, να φτιάξετε μια άλλη στήλη που ισορροπεί και η οποία όταν προβληθεί κάτω να φτάνει σε απόσταση x+1\mbox{cm}.

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Μαρτίου 24, 2008 @ 12:01 μμ

  2. Συνέχεια προηγούμενης υπόδειξης:

    1. Χρησιμοποιείστε την υπάρχουσα στήλη ως το πάνω κομμάτι της νέας σας κατασκευής.

    2. Είναι πολύ δύσκολο να επηρεάσετε την ισορροπία ενός ελέφαντα αν τον φορτώσετε επιπλέον με ένα φτερό.

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Απριλίου 28, 2008 @ 9:05 μμ

  3. Συνέχεια προηγούμενης υπόδειξης:

    3. Στη νέα σας κατασκευή θα έχετε δύο κομμάτια, το κάτω και το πάνω. Το πάνω κομμάτι θα είναι η προηγούμενή σας κατασκευή (που η προβολή της φτάνει σε απόσταση x). Το κάτω θα είναι μια κατακόρυφη στήλη από πάρα πολλά τούβλα.

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Ιουνίου 29, 2008 @ 8:37 μμ

  4. Αν μαντεύω σωστά τη λύση που προτείνει ο κύριος
    Κολουντζάκης, τότε η υπόδειξη για τον ελέφαντα και το x+1 είναι περισσότερο παραπλανητικές, ενώ
    η κατακόρυφη στήλη από τούβλα δίνει την
    εντύπωση ότι είναι εντελώς κατακόρυφη, πράγμα
    που δεν ισχύει θεωρητικά.

    Η υπόδειξη για τη χρήση της υπάρχουσας στήλης
    σαν το πάνω κομμάτι της νέας κατασκευής
    είναι πιστεύω υπέρ-αρκετή. Ωστόσο χρειάζονται
    κάποιες απλές πράξεις για να δικαιολογήσουμε
    τα “φυσικά” επιχειρήματα.

    Σχόλιο από xatzial — Αυγούστου 12, 2008 @ 10:58 μμ

  5. Δηλαδή;

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Αυγούστου 12, 2008 @ 11:00 μμ

  6. Δηλαδή για πιο απ’ όλα?

    Σχόλιο από xatzial — Αυγούστου 12, 2008 @ 11:23 μμ

  7. Ποια είναι τα φυσικά επιχειρήματα και ποια είναι η λύση;

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Αυγούστου 12, 2008 @ 11:25 μμ

  8. Καταρχήν πρέπει να ερμηνεύσουμε κατάλληλα
    την υπόδειξη για τη νέα κατασκευή. Προφανώς
    εννοείτε ότι πρέπει να σηκώσουμε τη στήλη
    που ισορροπεί και να τοποθετήσουμε από
    κάτω το επόμενο τούβλο ώστε η νέα κατασκευή
    να ισορροπεί και αυτή. Αυτό υποδεικνύει
    και τον τρόπο λύσης.

    Το κέντρο βάρους του 1ου τούβλου απέχει προφανώς
    15 cm από την άκρη του. Το σηκώνουμε και
    τοποθετούμε από κάτω το επόμενο τούβλο ώστε
    το κέντρο βάρους του από πάνω τούβλου
    να είναι ακριβώς πάνω από την άκρη του
    από κάτω τούβλου. Σηκώνουμε αυτή την
    κατασκευή και τοποθετούμε το νέο τούβλο
    από κάτω ώστε το κέντρο βάρους της να
    είναι στην άκρη του νέου τούβλου.

    Φροντίζουμε πάντα να τοποθετούμε τη
    δεξιά άκρη του νέου τούβλου κάτω από το
    κέντρο βάρους της παλιάς κατασκευής.

    Με απλές πράξεις που εμπλέκουν το
    κέντρο βάρους διαπιστώνει κανείς ότι
    η κατακόρυφη προβολή αυτής της
    κατασκευής φτάνει σε απόσταση
    30+\frac{30}{2}+\frac{30}{4}+\frac{30}{6}+\frac{30}{8}+...
    το οποίο μπορεί να γίνει όσο μεγάλο θέλουμε
    αφού η συγκεκριμένη σειρά αποκλίνει.

    Σχόλιο από xatzial — Αυγούστου 12, 2008 @ 11:57 μμ

  9. Αυτό που ζητώ σε αυτό το πρόβλημα είναι ένα διαισθητικό επιχείρημα, χωρίς πράξεις, και νομίζω ότι οι υποδείξεις που δίνω παραπάνω μπορούν να βοηθήσουν να βρεθεί κάτι τέτοιο.

    Ο συνηθισμένος τρόπος να λύσει κανείς αυτό το πρόβλημα είναι αυτός που περιγράφεις, αλλά αυτή η λύση απαιτεί υπολογισμούς, και σίγουρα δεν είναι φανερό από πού προκύπτει η σειρά που δίνεις.

    Σχόλιο από Mihalis Kolountzakis — Αυγούστου 13, 2008 @ 12:42 πμ


Κανάλι RSS για τα σχόλια του άρθρου. TrackBack URI

Γράψτε ένα σχόλιο

Για να σχολιάσετε πρέπει να συνδεθείτε.

Blog στο WordPress.com.